Ҳозирги кунда факториаллар математикада ҳар қадамда учрайди. n мусбат ва бутун сон учун "n факториал" ифодаси (n! тарзида ёзилади) -n соннинг ўзи ва унгача бўлган барча бутун сонларнинг ўзаро кўпайтмасини англатади. Масалан 4!=1×2×3×4=24.
Факториалнинг n! кўринишида ифодаланиши қоидасини 1808-йилда фаранг математиги Кристиан Крамп жорий қилган. Факториаллар комбинаторикада жуда катта аҳамият касб этади. Масалан кўп сонли обектларнинг ўзаро бир-бирига нисбатан жойлашиш вариантларини ҳисоблаш зарур бўлган ўринларда факториаллар жуда асқотади. Шунингдек факториаллардан сонлар назарияси, эҳтимоллар назарияси ҳамда, математик анализ соҳаларида кенг фойдаланилади.
Факториалнинг n! кўринишида ифодаланиши қоидасини 1808-йилда фаранг математиги Кристиан Крамп жорий қилган. Факториаллар комбинаторикада жуда катта аҳамият касб этади. Масалан кўп сонли обектларнинг ўзаро бир-бирига нисбатан жойлашиш вариантларини ҳисоблаш зарур бўлган ўринларда факториаллар жуда асқотади. Шунингдек факториаллардан сонлар назарияси, эҳтимоллар назарияси ҳамда, математик анализ соҳаларида кенг фойдаланилади.
Факториалларнинг қиймати фавқулодда тез ўсади. Масалан, 70! нинг қиймати 10100 дан ҳам катта, 25256! эса, 10100000 дан ҳам улкан сонни ташкил қилади. Шу сабабли катта факториалларнинг қийматларини соддалаштириш имконини берадиган қулай математик усулларнинг аҳамияти ҳам фавқулодда каттадир. Стирлинг формуласи қуйидаги кўринишда бўлиб, n! нинг аниқ қийматини топиш имконини беради.
Формуладаги «≈» белгиси тақрибан тенгликни ифодаласа, π ва e сонлари эса, ҳаммамизга таниш бўлган математик доимийлар, яъни, π=3.14159 ва э=2.71828 га тенг. n нинг жуда ҳам катта қийматлари учун ушбу ифода лн(n!)≈nлн(n)-nкўринишигача яна ҳам соддалаштирилади. Ушбу ифодани шунингдек яна n!= nn·э‒n тарзида ёзиш мумкин.
Мазкур формула илк бора 1730 йилда шотланд математиги Жеймс Стирлингнинг (1692-1770) томонидан унинг «Дифференсиал услублар» (Метҳодус Диффертиалис) асарида баён қилган бўлиб, олим ўз ҳаётининг катта қисмини саноат корхоналарида технологик жараёнларни такомиллаштириш ва ишлаб чиқариш қувватларини ошириш масалаларига бағишлаган. Стирлинг ўз замондоши бўлган даҳо олим – Нютон билан яқин илмий дўстона алоқаларга эга бўлган. Лекин у Шотландия ва Англия миллатлари орасидаги диний ҳамда сиёсий тўқнашувлар замонасида яшаганлиги сабабли, инглиз илмий жамияти билан унчалик илиқ муносабатда бўлмаган.
Кит Болл исмли инглиз математигининг фикрича, Стирлинг формуласи каби мураккаб ва шу билан бирга ғоят жозибадор математик формулаларнинг келтириб чиқарила бошланиш – эндиликда математиканинг шунчаки топқирлик ўйинлари учун эрмак ва ҳисоб-китоб ишлари учун восита сифатида эмас, балки профессионаллар шуғулланадиган ҳақиқий касбга айланиб боришига ишора бўлган эмиш...
Расмда: 4! Факториалнинг Стирлинг формуласи бўйича ечими -4!=24, тасвирда 24 та қўнғизчачалар.