Пифагор учлиги, яъни, х2+y2=z2 шартни қаноатлантирувчи х, y ва z бутун сонлардан иборат учликлар чексиз кўпдир. Мисол келтириш учун узоққа бориш шарт эмас:
32+42=52
Кўпчилик мутахассисларнинг фикрича, ушбу нисбатни энг қадимги Мисрликлар ҳам яхши билишган ва амалда кенг қўллашган.
Ферма 1630-йилда Диофантнинг "Арифметика" китобни ўқиб чиқади ва китоб ҳошиясида қуйидагича қайд қолдиради: "бу каби ифода қолган барча даража кўрсаткичлари, яъни,
x3+y3=z3
x4+y4=z4
x5+y5=z5
ва ҳо казолар учун бутун ечимларга эга бўлмайди. Кубни бошқа иккита кубларнинг йиғиндиси тарзида тасаввур қилиб бўлмайди. Тўртинчи, бешинчи, ва бошқа исталган даражани ҳам бундай тасаввур қилишнинг иложи йўқ".
Ферма ўз қайдларини ўзи ўқиётган китобнинг ҳошиясига ёзишга одатланганди. Ферма юқоридаги фикри учун ажойиб исбот ҳам келтириб чиқарган. Бироқ унинг исботини ёзиб ифодалаши учун китоб саҳифаларидаги ҳошиялар жуда торлик қилган. Ферманинг машҳур теоремаси алгебра тилида қуйидагича янграйди:
"Агар х, y, z бўлса ва х, y, z нолга тенг бўлмаса, унда, n>2 ҳолат учун хn+yn=zn тенглама ечимга эга бўлмайди".
Ферма ушбу фикрни илмий тахмин, яъни, гипотеза тарзида шакллантириб, оммага эълон қилганидан кейинги 400 йил мобайнида, унинг ҳақ ёки ноҳақ эканлиги ҳақидаги саволга ҳеч ким жавоб бера олмаган. Шунингдек: Ферма гипотезаси аслида теоремами? Яъни, унинг исботи мавжудми? - каби саволлар ҳам очиқ қолаётган эди. Башарти, бу аслида теорема бўлса, унда Ферма ўзининг "ажойиб исботи"нинг қаерида янглишган? Сайёранинг Фермадан кейин яшаб ўтган энг ўткир зеҳнли математиклари ҳам қаттиқ уриниб, лекин ечим топа олмаган теоремасини Ферманинг ўзи ўша вақтдаёқ исботлаб қўйган бўлиши эҳтимоли катта.
Тўрт асрлик мулоҳаза-ю мушоҳадаларга фақат 1995-йилга келибгина чек қўйилди. 7 йиллик машаққатли изланишлардан сўнг Англиялик математик олим Жон Эндрю Уайлс буюк Ферма теоремасини исботлашга муваффақ бўлган. Бунда у сонлар назариясига оид янги ва ўта мураккаб математик услубларни қўллаб мақсадга эришган. У ўз исботида эллиптик эгри чизиқлар ва модуляр шакллар орасидаги боғлиқлкка асосланади.
Унда Уайлс, Германиялик математик Герхард Фрайнинг, Ферма теоремаси аслида Танияма-Симура гипотезасидан келиб чиқувчи хулоса эканлиги ҳақидаги фикрига таянади. Эндрю Уайлснинг Ферма теоремасининг исботи ҳақидаги уч қисмдан иборат маърузаси 1995-йилнинг 23-июн санасида Кембрижда муаллифнинг ўзи томонидан ўқилган. Кейинроқ эса, исботнинг тўлиқ матни берилган 130 саҳифадан иборат илмий мақола олим ўзи ишлайдиган Принстон университетида нашр қилинувчи машҳур "Математика солномалари" ("Анналс оф матҳематикс") журналида эълон қилинган.
Буюк Ферма теоремасини исботлаган математик Эндрю Уайлс